我们讨论了命题和定义，从现在开始，将讨论数学的推理，正如我们在绪论中曾经讨论过的，数学推理主要包括两方面的内容：一是对基本推理的直接判断，大部分情况下，这表现于对简单数学命题的是否判断；二是建立条件与结果之问的逻辑联系，判断条件与结果之间是否存在必然关系。那么，进行判断以及建立条件与结果之间逻辑联系的思维基础是什么
呢？这是一个非常难以回答的问题，现代的学者们给出了许许多多的逻辑形式，已经达到了使人无法记忆的程度，更无法判断这些逻辑形式的合理性。在这里，我们还是遵循形式逻辑中三个最古老的原则，批判地把这三个原则使用于数学的命题、定义和推理中。这三个原则就是：同一律、矛盾律和排中律。
同一律是指一个事物与自身同一，表示为A=A。也就是说，一个事物不能同时存在又不存在；或者说，一个事物不能同时是自身又是别的，这就要求把这个事物与不是这个事物分辨得非常清楚，但是，事物总是相对的，事物也总是变化的，就历史发展的长河而言，同一律就显得很僵化了，正如恩格斯在《自然辩证法》中批评的那样：
“旧形而上学意义下的同一律是旧世界观的基本原则：a=a。每一个事物和它自身同一。一切都是永久不变的，太阳系、星体、有机体都是如此，这个命题在每一个场合下都被自然科学一点一点驳倒了，但是在理论中它还继续存在着，而旧事物的拥护者仍然用它来抵抗新事物：一个事物不能同时是它又是别的。……抽象的同一性，像形而上学的一切范畴一样，
对日常应用来说是足够的，在这里考察的只是很小的范围或很短的时间。”
在上面的述说中，恩格斯强调一切事物甚至一切规律都不是永恒不变的，要学会辩证地分析问题，恩格斯的说法是有道理的，以我们在《图形与图形关系的抽象》中讨论过的几何学为例，最初人们认为欧几里得几何是永恒不变的真理，包括“过直线外一点能作并且只能作一条平行线”这个公理；后来人们发现也可以建立一个有无数条平行线的几何，这便是罗巴切夫斯基几何；再后来人们发现还可以建立没有平行线的几何，这便是黎曼几何，特别须要注意的是，如果在更大的范围内思考问题，这些几何都有着明确的物理背景（参见《图形与图形关系的抽象》的讨论）
但是，我们讨论的数学定义和推理是从日常生活中抽象出来的，正如我们在《图形与图形关系的抽象》的最后部分讨论的那样，这种“抽象了的东西”是不存在的，因此，在某种
程度上，我们可以把那些“抽象了的东西”看做一些假定，或者认为是相对真理。于是，我们在数学上仍然可以使用同一律，并且把其限制为数学同一律：如果一个集合A是确定的，那么，一个元素x或者属于集合A或者不属于集合A。我想特别强调的是，在我们现在的数学中只讨论具有这种性质的集合，这样，由《基本推理的基础---推理的对象：定义》中(2)式给出的关于定义的立论根据是明确的。
矛盾律是针对推理的基本原则：一个命题P不能同时为真又为假，即P与PC不能同时成立。现有的资料表明，矛盾律最初是亚里士多德提出的，他在《形而上学》中写道：
“但我们明确主张，事物不可能同时存在又不存在，由此我们证明了它是所有原本中最为确实的。有些人由于学养不足认为需要对此加以证明，但是他们不知道哪些应当证明哪些不应当证明，这正是学养不足的表现。”
于是，人们遵循亚里士多德的建议，把矛盾律作为不证自明的基本推理原则，众所周知，“矛盾”一词出于我国春秋战国时代的一个寓言。事实上，矛盾律与人们的生活常识是一致的，就像那个寓言所述说的那样。因此，这个原则确实不用证明。现在，我们用《基本推理的基础---推理的对象：命题》中(4)式的方法表示矛盾律：如果P是一个数学命题，则不存在一个集合A八字推理原则，使得A→P和A～P同时成立。可以看到，这个原则对于数学推理是非常重要的，没有这个原则几乎寸步难行。
排中律也是针对推理的基本原则：一个命题P不是真的就是假的，即P与PC必有一个成立。这个原则对命题的要求是非常严格的，在日常生活中，排中律不一定是合适的，事实上，就我国的传统文化而言，很难接受“非此即彼”的思维模式。在日常生活中，不能肯定一件事情的时候并不意味着就要否定这件事情，比如我们曾经讨论过的一些语句：
这道菜做得很辣。
完成这样的事情是很花费时间的。
在排中律的原则下都不能成为命题，因为上述语句中的结论都是相对的：这个菜可能在“辣”与“不辣”之间；这个工作可能在“费时”与“不费时”之间，事实上，排中律也是亚里士多德在《形而上学》中提出的，他提出的时候就是犹豫不决的：
“在对立的陈述之间不允许有任何的居间者，对于一事物必须要么肯定要么否定其某一方面，……如果不是为理论而理论的话，在所有对立物之间，应当存在居间者，故一个人可能既以其为真又以其为不真。在存在与不存在之外它也将存在，因此，在生成和消灭之外有另外某种变化。”
正如亚里士多德所说，为了理论而理论，在数学同一律的基础上我们依然使用排中律：如果P是一个数学命题，A是一个确定的集合，那么A→P或者A→PC，二者必居其一。数学推理中经常使用的反证法所依赖的基本原理就是排中律，比如希望证明A→P，我们先假定A→PC。如果对于任何一个元素x∈A，都有x→PC成立将导致与某些事实矛盾，就可以推断A→PC的假定是不成立的，于是根据排中律可以推断A→P成立。下面，我们用√2是无理数的证明来说明矛盾律和排中律的作用，其中的证明参见《无理数的认识》。
用反证法证明√2是无理数，
先假设√2不是无理数，那么，√2就是有理数。根据有理数的定义，√2能够表示为两个整数的比，比如√2=a/b，其中a和b为整数且没有公因数。（为证明A→P，先假定A→PC，其中A为√2，P为无理数）。
则a2=2b2，于是a2必为偶数。因为只有偶数的平方才能为偶数，所以a为偶数。因为a和b没有公因数，a为偶数则b必为奇数。因为a为偶数，可设a=2c，其中c为整数。则a2=4c2，于是有4c2=2b2或者2c2=b2，则b2为偶数即b为偶数。b不可能又是奇数又是偶数，因此，假设不成立。（这个结论是根据矛盾律的原则）
所以，√2是无理数。（因为假设A→PC不成立，根据排中律只有A→P）
哥德尔
从上面的例子我们可以感悟到，在数学的证明过程中，矛盾律和排中律都是非常重要的原则，但是，也应当注意到，排中律对于命题本身的要求是非常严格的，我们再次回顾哥德尔于1931年发表的那篇划时代的论文的开始部分：
“在较精确的意义上说，数学的发展已经导致它大范围的形式化，以至于证明竟然可以依照少数几条机械规则实现。目前，最丰富的形式系统，一个是怀特海和罗素的《数学原理》的系统，另一个是策梅罗一弗兰克尔的公理集合论系统。这两个系统足够广阔，现在数学中使用的所有证明方法都可以在系统中形式化，即都可以从几条公理和推理规则中演绎出来，因此，似乎可以合理地推测，这些公理和推理规则对于判定所有在系统中能够描述的数学问题是充分的。下面将要指出的是，事情并非如此！在上述两个系统中，存在着相对简单的初等数论问题八字推理原则，不能在该系统中基于公理而判定。”
哥德尔在文中提到的问题就是我们曾经讨论过的命题G:n在这个系统中是不可证的，其中n是语句所指派的哥德尔数，而这个语句就是G本身。很显然，如果一个在系统中确实存在的“有意义”的命题，在这个系统中却不能进行正确或者错误的判断，那么这个事实与排中律是相悖的，因此，哥德尔在这里至少指出了数学推理中不能忽视的却已经被人们忽视了的两个要点：一个要点是对于命题的判断必须依赖于话语系统；另一个要点就是使用排中律的时候要特别小心。
在下面几讲，我们将逐步讨论数学推理的话语系统。
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